Vorbemerkung

Geraden

• Lineare Bewegungen werden z. B. bei Navigationsproblemen (Schiffe im Zweidimensionalen, Flugzeuge im Dreidimensionalen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor beschrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Objekte, Flugebenen) einbezogen werden. Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit zu variieren. In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (z. B. die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als Funktion (von der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden.
• Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen sollen auch hilfsmittelfrei durchgeführt werden. Die Darstellung in räumlichen Koordinatensystemen sollte hinreichend geübt werden.
• Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Parallel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz einer dynamischen Geometrie-Software (DGS) bietet hier die zusätzliche Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann.

Ebenen

• Als Einstiegskontext für die Parametrisierung einer Ebene kann eine Dachkonstruktion mit Sparren und Querlatten dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisierung aufgegriffen.
• Wenn genügend Zeit zur Verfügung steht, können durch Einschränkung des Definitionsbereichs Parallelogramme und Dreiecke beschrieben und auch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden, die über die Kompetenzerwartungen des KLP hinausgehen.
• In diesem Unterrichtsvorhaben werden Problemlösekompetenzen erworben, indem sich heuristische Strategien bewusst gemacht werden (eine planerische Skizze anfertigen, die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt beschreiben, geometrische Hilfsobjekte einführen, bekannte Verfahren zielgerichtet einsetzen und in komplexeren Abläufen kombinieren und unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt vergleichen).
• Punktproben sowie die Berechnung von Spurgeraden in den Grundebenen und von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen führen zunächst noch zu einfachen Gleichungssystemen. Die Achsenabschnitte erlauben eine Darstellung in einem räumlichen Koordinatensystem.
• Die Untersuchung von Schattenwürfen eines Mastes auf eine Dachfläche z. B. motiviert eine Fortführung der systematischen Auseinandersetzung mit linearen Gleichungssystemen, mit der Matrix-Vektor-Schreibweise und mit dem Gauß-Verfahren.
• Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt, zentrale Werkzeugkompetenz in diesem Unterrichtsvorhaben ist die Interpretation des angezeigten Lösungsvektors bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen Formalisierung sollte stets deutlich werden.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Geraden und Strecken in Parameterform darstellen.
  • Ich weiß, dass man Geraden sowohl in der Ebene, als auch im Raum mithilfe von Vektoren beschreiben kann.
  • Ich kann Geraden mithilfe der Gleichung vec(x) = vec(p)+ r*vec(u) angeben.
    • Ich weiß, dass der Vektor vec(p) Stützvektor heißt und der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P ist, der auf der Geraden liegt.
    • Ein weiß, dass der Vektor vec(u) Richtungsvektor heißt.
    • Ich weiß, dass man für den Parameter r alle reellen Zahlen einsetzen darf.
    • Ich weiß, dass eine Gerade durch mehrere Gleichungen beschrieben werden kann. Dabei kann der Stützvektor jeweils verschieden sein. Die Richtungsvektoren müssen jedoch Vielfache voneinander sein.
  • Ich kann Geraden in der Ebene und im Raum zeichnen.
  • Ich kann Punkte angeben, die auf der Geraden liegen.
  • Ich weiß, wie man eine Punktprobe durchführt.
  • Ich kann die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten aufstellen, die auf der Geraden liegen.
  • Ich weiß, dass eine Strecke im Gegensatz zu einer Geraden zwei Endpunkte besitzt. Als Parameter dürfen daher nicht alle Werte aus den reellen Zahlen, sondern nur die Werte eines abgeschlossenen Intervalls eingesetzt werden.
• Ich kann den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext interpretieren.
  • Ich kann die Bahn einer gleichförmigen Bewegung durch eine Gerade, Halbgerade oder Strecke in Parameterform beschreiben.
    • Dabei ist der Stützvektor vec(p) der Ortsvektor zu einem beliebigen Bahnpunkt.
    • Für den Parameter r dürfen ggf. nur Werte eines definierten Intervalls eingesetzt werden.
    • Der Richtungsvektor vec(u) beschreibt die Richtung, in die sich ein Körper bewegt.
  • Ich weiß, dass man gleichförmige Bewegungen durch einen Startpunkt, einen Zeitparameter und einen Geschwindigkeitsvektor beschreiben kann.
    • Dabei ist der Stützvektor vec(p) der Ortsvektor zum Startpunkt P.
    • Der Parameter r gibt die Zeit (in s, min, h, ...) an.
    • Der Betrag des Richtungsvektors |vec(u)| gibt die Geschwindigkeit in (in m/s, km/h, ...) an.
  • Ich weiß, dass Seiten von Flächen und Kanten von Körpern sowie weitere besondere Linien, wie z.B. Diagonalen, Strecken darstellen, die mithilfe von Parametergleichungen dargestellt werden können.
• Ich kann Ebenen in Parameterform darstellen.
  • Ich weiß, dass man eine Ebene mittels Parameterform vec(x) = vec(p) + r*vec(u) + s*vec(v) beschreiben kann.
    • Ich weiß, dass der Vektor p Stützvektor heißt und die beiden Vektoren vec(u) und vec(v) als Spannvektoren bezeichnet werden.
    • Ich weiß, dass die Spannvektoren nicht dem Nullvektor entsprechen und zueinander parallel sein dürfen.
    • Ich weiß, dass man für die Parameter r und s alle reellen Zahlen einsetzten darf.
    • Ich weiß, dass die gleiche Ebene durch mehrere Parametergleichungen beschrieben werden kann.
    • Ich kann die Parameterleichung aus drei Punkten aufstellen, die in der Ebene liegen. Diese dürfen jedoch nicht auf einer Geraden liegen.
    • Ich kann eine Punktprobe durchführen.
  • Ich kann Ausschnitte von Ebenen zeichnen.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte)

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
  • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)
  • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
  • beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren)
  • verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren)

• Werkzeuge
  Die Schülerinnen und Schüler
  • nutzen Geodreieck, geometrische Modelle (mathematische Sammlung) und DGS
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR, Vektoris3D, u.a.) zum
    • grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden
    • Darstellen von Objekten im Raum

• Argumentieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)
  • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen)
  • überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

• Kommunizieren
  • erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren)
  • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren)
  • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren)