Vorbemerkung

• Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).
• Der Einstieg kann über eine Gruppenarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten.
• Mit der Schachtelung durch Ober - und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eine Strategie zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln.
• Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.
• Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren.
  • Ich kann folgende Zusammenhänge richtig erläutern und in Sachzusammenhängen anwenden:
    • Bisher war die Ableitung ein zentraler Begriff, mit deren Hilfe man die momentane Änderungsrate einer Größe bestimmen kann.
    • Jetzt ergeben sich neue Problemsituationen. Es muss umgekehrt von der momentanen Änderungsrate einer Größe auf die Gesamtänderung (Wirkung) dieser Größe geschlossen werden.
    • Kennt man die momentane Änderungsrate einer Größe (Funktion) in einem Intervall, so lassen sich die Werte dieser Größe (dieser Funktion) rekonstruieren (wiederherstellen).
    • Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.
    • Die rekonstruierten Funktionswerte sind interpretierbar und berechenbar als orientierte Flächeninhalte.
    • Deshalb sucht man nach Methoden zur Bestimmung solcher Flächeninhalte.
    • Die momentane Änderungsrate "bewirkt" die Gesamtänderung.
  • Beispiele:
    • momentane Änderungsrate: Geschwindigkeit in m/s ; Gesamtbestand der Größe: Zurückgelegter Weg in m.
    • momentane Änderungsrate: Ausstoßrate eines Schadstoffs in g/min ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Ausstoßmenge in g.
    • momentane Änderungsrate: Zuströmende Personenrate in Personen / min ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Personenzahl
    • momentane Änderungsrate: Durchflussrate bei einer Pipeline in m³ /h ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Durchflussmenge in m³.
• Ich kann die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext deuten.
  • Beispiele:
    • momentane Änderungsrate: Zuflussgeschwindigkeit bzw. Abflussgeschwindigkeit einer Flüssigkeit in einen Behälter in m³ /h.
    • Deutung des Inhalts der orientierten Fläche:
      • Fläche oberhalb der Abzisse: Volumen der Flüssigkeit in m³, die insgesamt zugeflossen ist.
      • Fläche unterhalb der Abszisse: Volumen der Flüssigkeit in m³, die insgesamt abgeflossen ist.
    • momentane Änderungsrate: Geschwindigkeit eines Aufzuges in m/s in einem Hochhaus. Wenn der Aufzug nach oben fährt, ist die Geschwindigkeit positiv.
    • Deutung des Inhalts der orientierten Fläche:
      • Fläche oberhalb der Abzisse: Gesamtstrecke, die der Aufzug nach obern fährt.
      • Fläche unterhalb der Abszisse: Gesamtstrecke, die der Aufzug nach unten fährt.
• Ich kann zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion skizzieren.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke)

• Kommunizieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  
  • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen (Rezipieren)
  • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren)
  • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren)
  • dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)
  • erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)